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Il sito è a cura del prof. Bernardo Croci, attualmente insegnante di filosofia presso il Liceo delle Scienze Umane Galilei di Firenze.

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I problemi con i quali avevamo che fare erano di due tipi: filosofici e matematici. in linea generale, Whitehead la somma dei problemi filosofici. Quanto hai problemi matematici, Whitehead costruì la maggior parte delle notazioni, effettuate quelle riprese da Peano....lo scopo fondamentale dei Princìpia Mathematica era di dimostrare che tutta la matematica pura deriva da premesse è puramente logiche e usa soltanto concetti definibili in termini logici. Ciò è ovviamente in antitesi con le dottrine di Kant, inizialmente concepii il nostro lavoro come un momento della confutazione di quel “filisteo sofista” come lo definiva Georg Cantor, aggiungendo per completare meglio la descrizione, il quale conosceva così poco la matematica. (Russell, La mia vita in filosofia)

Nel 1908 Russell Individua il principale responsabile dei paradossi. Secondo Russell tutte le nostre contraddizioni hanno in comune l'assunzione di una totalità esempio quando io affermo "tutte le proposizioni dal me asserite sono false" mi sto riferendo a una totalità alla quale la proposizione stessa appartiene.

Tutto ciò che implica tutto di una collezione non deve essere un elemento della collezione; o di converso: se ammesso che una collezione abbia un totale, essa contiene membri disponibili solo nei termini di questo tale, Allora tale collezione non ha totale. (Russell, Princìapia Mathematica)

La teoria dei tipi logici tuttavia vero prezzo ovvero quello di ridimensionare il realismo platonico e accettare inserto convenzionalismo. Riprendendo la teoria sulla denotazione Russell affermava che la teoria aveva come obiettivo quella di fornire le regole per i valori ammissibili di x in una funzione proposizionale data affermando che le proposizioni del tipo il “coraggio è coraggioso” non ha senso, così come “l'essere è e non può non essere” di Parmenide, e l’illegittimità dell'auto referenza delle funzioni proposizionali, cioè che esse non possono essere argomenti di se stessi come nel caso "io mento". La teoria di Russell ha come perno quello di distinguere i diversi tipi logici che se mescolati danno origine a tutta una serie di contraddizioni. Con la teoria dei tipi logici venivano abolite le classi, sia la teoria delle descrizioni che quella dei tipi logici in un certo senso soddisfacevano al principio di economia del rasoio di Occam a cui Russell era estremamente legato. In sostanza Russell si era accorto che nella discussione vi erano diversi livelli di linguaggio e proprietà uguali (identificate dallo stesso segno) non potevano essere scambiate e manipolate come se appartenessero allo stesso livello.

Il ragionamento che sta alla base della teoria, nelle sue varie formulazioni, per esprimersi in modo informale intuitivo, consiste nello sviluppare una rigida gerarchia di tipi diversi di oggetti: individui, insieme di individui, insiemi di insiemi di individui, insieme di insiemi di insiemi... e così via.

Ciò che fa parte di un certo tipo logico può essere membro o non essere membro solo di qualcosa che faccia parte del tipo o livello gerarchico immediatamente superiore. Facciamo un esempio semplice per capire, posso predicare qualcosa sugli individui di un gruppo (insieme) familiare, per esempio chiedermi chi della famiglia "è padre", ma non posso domandarmi se la famiglia a sua volta "è padre" rispetto a se stessa.

Dunque secondo questo ragionamento la relazione di appartenenza può intercorrere, o non intercorrere, solo fra un oggetto e un insieme; o fra un insieme e un insieme di insiemi; ecc. Come risultato di ciò, un insieme può essere composto solo di oggetti omogenei, ossia tutti appartenenti allo stesso tipo logico ( quello immediatamente inferiore a quello del insieme in questione). Espressioni come X appartiene a X e X non appartiene a X sono dunque rifiutate come non ben formate, sono prive di senso.

Facciamo un altri esempi su espressioni che abbiamo già incontrato. Per esempio è legittimo chiedersi se la parola "uomo" sia corta o lunga, perchè la sto trattando come oggetto, ovvero individuo, ma non ha senso chiedersi se la parola corto o lungo (che corrisponde alla proprietà ovvero all'insieme degli oggetti corti o lunghi) siano corti o lunghi, in quanto in questo caso mentre la parola "uomo" fa parte del linguaggio, la proprietà "corto" o "lungo" intesa come l'insieme di quegli oggetti fa parte del metalinguaggio, ovvero appunto fa parte di un altro livello o tipo logico.