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Il sito è a cura del prof. Bernardo Croci, attualmente insegnante di filosofia presso il Liceo delle Scienze Umane Galilei di Firenze.

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 Nel 1687 Newton, grazie alle teorie dei suoi predecessori, formulò la legge di gravitazione universale spiegando definitivamente come fosse possibile l’orbitare di satelliti e pianeti nel sistema solare. Newton aveva lavorato a lungo sulle supposizioni di Keplero, che vedeva i pianeti ruotare attorno al Sole in virtù di una sorta di forza magnetica; egli era anche profondamente convinto che vi dovesse essere una forza che regolasse sia sulla terra che nei cieli l’attrazione fra i corpi, la stessa che sulla terra generava la caduta di un “grave” (peso), magari una mela! Dopo varie congetture e calcoli si rese conto che la forza con cui due corpi si attraggono è direttamente proporzionale a ciascuna delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Questo era il motivo per cui i pianeti e la Terra ruotavano attorno al Sole in modo cosi armonico e preciso. Tuttavia rimanevano aperti ancora molti problemi: anche ammettendo, come faceva Newton, la presenza di uno spazio e di un tempo assoluti, non era possibile che tale regolarità fosse garantita solo su base meccanica; inoltre secondo la legge di gravità le stelle sarebbero dovute, prima o poi, collassare le une sulle altre. Newton aveva provato ad ovviare a ciò supponendo che se l’universo fosse stato infinito non ci sarebbe stato alcun centro verso il quale far convergere la materia, ma tale soluzione risulta essere solo un paradosso che scaturisce da un uso improprio del concetto di infinito; nella realtà infatti i calcoli dimostrano che comunque tale collasso si verificherebbe.

In ogni caso queste, ed altre idee, contribuirono a trasformare quell’idea di “mondo chiuso” che avevano i pensatori antichi e medievali in un “universo infinito” propria delle concezioni moderne e contemporanee.

Nessuno, probabilmente anche a causa di motivazioni psicologiche e metafisiche, riuscì ad intuire la possibilità che l’universo fosse in espansione e per questo la gravità non prendeva il sopravvento. Molti cosmologi e astronomi, pur di non prendere in considerazione tali ipotesi, modificarono la legge di Newton ipotizzando che la gravità sulle grandi distanze agisse come forza repulsiva, così che l’universo, in uno spazio infinito dove le stelle fossero state distribuite uniformemente, si sarebbe mantenuto in equilibrio: forze attrattive tra stelle vicine si sarebbero compensate con forze repulsive di stelle lontane.

Malgrado molte perplessità, l’idea che l’universo fosse un grande meccanismo, chiuso ed immutabile, rimase dominante per tutto l’Ottocento, tanto da far supporre al grande cosmologo P. S. De Laplace che se fosse esistita una mente, in grado di conoscere tutte le posizioni ed i comportamenti di ogni singolo corpo esistente nel cosmo in un preciso istante, si sarebbe potuto svelare tutti gli eventi passati e futuri della storia del mondo (portando alle estreme conseguenze la visione deterministo-meccanicista della fisica classica).

La vera svolta cosmologica iniziata nel Novecento trova le sue radici non all’interno dell’astronomia, ma in due altri campi: primo nella matematica, grazie soprattutto alle scoperte della seconda metà dell’Ottocento delle geometrie non euclidee da parte di F. Gauss, N. Lobacevscky e B. Riemann; secondo nei lavori svolti da L. Boltzmann e J. K. Maxwell sulla termodinamica e i moti delle molecole. In particolari questi ultimi studi sono alla base delle equazioni messe appunto da H. Lorentz fondamentali per la teoria elaborata da A. Einstein e fondamentali per lo studio delle proprietà particolari della luce.

Nel campo della geometria si verificò una rivoluzione intellettuale. Una volta negata, per opera di Girolamo Saccheri (1667-1733) la validità del quinto postulato di Euclide, fu possibile pensare allo spazio come a una retta curva. Nacquero così le geometrie non euclidee.

La geometria piana è fondata sui postulati di Euclide:

       per due punti passa una ed una sola retta;

       ogni retta può essere prolungata indefinitivamente;

       dato il centro e il raggio esiste uno ed un solo cerchio;

      tutti gli angoli retti sono uguali;

       se una retta forma con altre due da una stessa parte angoli interni con somma minore di due retti allora quelle due rette si incontreranno nello stesso semipiano.

L'ultimo postulato è noto come il postulato delle parallele poiché da esso segue la dimostrazione dell'esistenza di un'unica parallela per un punto ad una retta data. Esso contiene un'affermazione di evidenza meno immediata e completa degli altri postulati, un'affermazione che trascende i dati direttamente forniti dall'esperienza, i quali si riferiscono alla sola regione di spazio a noi praticamente accessibile, vasta ma limitata. Dal II al V postulato segue anche che in un piano esistono rette che non s'incontrano e dovunque equidistanti.

Per molto tempo i matematici furono convinti che il postulato delle parallele, che appariva privo dell'evidenza propria dei primi quattro, non fosse indipendente dagli altri e fosse perciò dimostrabile come teorema, ma in particolare si riusciva a dimostrare l'esistenza di tale retta parallela,ma non la sua unicità. Parecchi pensarono di sostituirlo con un postulato più intuitivo e di facile comprensione, ma tutte le situazioni si rivelarono equivalenti ad esso. Questi tentativi si protrassero per venti secoli e condussero alla conclusione dell'impossibilità di dimostrarlo, anzi si dimostrò la possibilità logica di nuove geometrie, ”diverse” da quella euclidea, in cui esso non vale.

Questa consapevolezza certo non fu una conquista indolore, se si pensa che ammettere una geometria non euclidea significava abbandonare la stessa nozione di spazio tridimensionale che sta alla base del sistema euclideo e per la quale esso è incondizionatamente valido, la nozione euclidea di piano, di retta ecc..., nonché la congettura che lo spazio “reale” fosse quello “euclideo”, e pertanto che quella euclidea fosse l'unica vera geometria.

http://lcalighieri.racine.ra.it/pescetti/ricerca_geometrie_non_euclidee_2004_05/somm_none/seconda_parte.htm

http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometrieNonEuclidee/par6.html

POCHE COSE MA MATURE

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) http://proflombardi.altervista.org/blog/wp-content/uploads/2015/03/Gauss-e-Riemann-La-matematica-diventa-scienza.pdf

Gauss  fu uno dei più grandi matematici (il principe dei matematici) non solo del suo periodo ma di tutti i tempi (venne detto «princeps mathematicorum») e pur occupando una posizione a cavallo fra due secoli così profondamente diversi, come abbiamo visto, per il tenore della produzione matematica, seppe dare notevolissimi contributi nei due sensi, anche se sostanzialmente può considerarsi legato a una mentalità «enciclopedica» settecentesca. Fu professore a Gottinga dal I 807 e si interessò di teoria dei numeri, di algebra, di geometria, di analisi, di geodesia, di astronomia, di fisica. Fra le sue opere principali: Disquisitiones arithmeticae (Disquisizioni aritmetiche) del 1801 (nelle quali fra l'altro Gauss introduce il concetto di gruppo e di decomposizione di un gruppo), Disquisitiones genera/es circa seriem infinitam (Disquisizioni generali sulla serie infinita ...) del 1811; Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi (Nuovo metodo per trovare per approssimazione i valori degli integrali) del I8I4; Disquisitiones genera/es circa superfici es curvas (Disquisizioni generali sulle superfici curve) del 1827 (nella quale vengono introdotte e sviluppate le prime nozioni di geometria differenziale, giungendo alla definizione di curvatura ecc.). Di notevolissima importanza scientifica è infine il suo nutritissimo epistolario.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/BraunschweigLKWF.jpg/220px-BraunschweigLKWF.jpg

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSTvNmd8vD89boKec2812o19z29CqQcRdjzN8x3RaHgyVDpmare

http://www.giornalettismo.com/wp-content/uploads/2014/01/cerere-asteroide-vapore.jpg

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Heliotrope5.jpg/400px-Heliotrope5.jpg

http://dm.unife.it/matematicainsieme/matcart/immagini%20sito/lambpr.jpg

http://dm.unife.it/matematicainsieme/matcart/tipiprz.htm

La storia del piccolo Gauss

Il fenomeno dell’insight diventa un elemento fondamentale per descrivere il pensiero produttivo per Köhler, Wertheimer e gli altri gestaltisti, in particolare per spiegare la differenza tra una soluzione intelligente ed una raggiunta per prove ed errori. Scrive Kanizsa in proposito: in un genuino processo di pensiero produttivo si ha un insight ogni volta che tra i dati a disposizione viene enucleata e afferrata una relazione [o più di una] decisiva ai fini della soluzione. In particolare, nella Gestalt vengono definiti due processi di pensiero: quello riproduttivo, quando si utilizzano strategie e regole già acquisite precedentemente che vengono applicate in modo meccanico a situazioni analoghe (ad esempio quando applico il teorema di Pitagora ad un qualsiasi triangolo rettangolo per trovare o un cateto o l’ipotenusa a seconda dei dati a mia disposizione) e quello produttivo, che si avvale come detto anche dell’ insight (ma non solo), che realmente crea, produce, una soluzione nuova.

Il classico esempio di questo processo è la leggenda che vede il giovane Gauss escogitare la formula n(n+1)/2 che permetteva di evitare di sommare ogni numero al successivo di fronte ad una sequenza di numeri progressivi e trovare così immediatamente la soluzione. Quando Gauss aveva sei anni e frequentava la scuola elementare, un giorno il maestro Buttner chiese di trovare la somma dei primi cento numeri 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10……… (noi immagineremo che essi siano solo 10) mentre i suoi compagni erano ancora assorti nei calcoli, il piccolo Gauss, di fronte allo stupore del maestro, fece notare che sommando 1 più 2, poi 3 al risultato, poi 4 al nuovo risultato, ci sarebbe voluto un sacco di tempo. Ma visto che, 1+10 fa undici, 2+9 fa di nuovo – deve fare? – undici. E così via. Vi sono cinque coppie di questo tipo: 5 volte 11 fa 55.”. Dovrebbe essere evidente che una simile nuova “visione” del problema (o ristrutturazione) non possa essere spiegata con i termini della logica classica, che non sono in grado di rendere conto di come all’improvviso ci si possa accorgere che c’è una relazione tra la somma e il fatto che la sequenza progredisce ad intervalli costanti, cosicché il nove, ad esempio, non viene visto come tale, ma come dieci-meno-uno, e il due, a sua volta, come uno-più-uno. Così ci si accorge che togliendo da una parte si aggiunge dall’altra, e il risultato è sempre undici.

Non sfugge in tal caso che, se si fosse proceduto per prove ed errori o solo per caso, il tempo nell’identificare una soluzione sarebbe lievitato notevolmente. Il pensiero produttivo dunque riesce a cogliere il senso delle strutture generate dalla ristrutturazione degli elementi presenti nel campo sia esso visivo o semplicemente mentale, il che però presuppone una non linearità del pensiero ed al contempo un modo capace di organizzazione e struttura.

Secondo Wertheimer non è stato un caso, ma il frutto di un atto percettivo (vedere che ogni coppia di numeri presi agli estremi della sequenza risultava simmetrica rispetto alla somma), di un insight (capire che tutti gli elementi presenti potevano essere messi in relazione fra loro: la quantità dei numeri da sommare, l’uguaglianza delle somme tra coppie di estremi nella sequenza, la relazione che c’è tra somma e moltiplicazione, etc), e soprattutto i processi di ristrutturazione del pensiero, che precedono appunto il fenomeno dell’ insight e lo rendono possibile come ci ricorda Kanizsa.

Lo sforzo di Wertheimer, e dei gestaltisti, è stato quello d’individuare i processi che rendono più facilmente possibile la ristrutturazione del pensiero, le leggi che ne sono alla base e le situazioni che li favoriscono. Il nesso tra percezione e pensiero produttivo da un lato e processi di apprendimento dall’altro è abbastanza evidente.

Sostituendo il quinto postulato con un altro asserto equivalente:

In un triangolo la somma degli angoli interni è di 180°

Si ha che le negazioni N1 e N2 diventano:

N1. In un triangolo la somma degli angoli interni è minore di 180°

N2. In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180°

Quindi nella geometria in cui vale N1esistono infinite parallele ad una retta passanti per un

punto esterno ad essa e i triangoli risultano "sgonfiati" perché la somma dei loro angoli interni è minore di 180°; nella Geometria in cui vale N2 non esiste alcuna parallela ad un retta e passante per un punto esterno ad essa e i triangoli sono "gonfiati" perchè la somma degli angoli interni è un valore più grande di 180°.

Sostituendo il quinto postulato con un altro asserto equivalente:

In un triangolo la somma degli angoli interni è di 180° Si ha che le negazioni N1 e N2 diventano:

N1. In un triangolo la somma degli angoli interni è minore di 180°

N2. In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180°

Quindi nella geometria in cui vale N1 esistono infinite parallele ad una retta passanti per un punto esterno ad essa e i triangoli risultano "sgonfiati" perché la somma dei loro angoli interni è minore di 180°; nella Geometria in cui vale N2 non esiste alcuna parallela ad un retta e passante per un punto esterno ad essa e i triangoli sono "gonfiati" perchè la somma degli angoli interni è unvalore più grande di 180°.

La geometria scoperta da Jànos Bolyai (1812-1860) e Lobachevsky (1793-1856) è la prima Geometria non Euclidea ed è conosciuta come Geometria Iperbolica, in Greco "iperbole" significa "eccesso" e in tale geometria il numero delle rette parallele ad una retta data e passanti per un punto fissato è in "eccesso" rispetto a quello della Geometria Euclidea. L'altra Geometria introdotta da Riemann (1826-1866) ed a cui Klein ha dato il nome di Ellittica, si nega l'esistenza rette parallele.

Nikolaj Lobacevskij e Janos Bolyai fondarono la geometria iperbolica e Bernhard Riemann quella ellittica. Esse In primo luogo facevano entrare in crisi la nozione di necessità della verità matematika: a questo proposito si giunse alla convinzione che in matematica, verità significa solo conseguenza di assiomi, perché gli assiomi sono solo ipotesi poste dal matematico allo scopo di studiarne le conseguenze logiche. In secondo luogo le geometrie non euclidee imponevano di suddividere il campo di applicazione della geometria tra una geometria matematica e una geometria fisica. Alla prima venne attribuito il compito di studiare le geometrie solo possibili in sede formale, senza privilegiare alcuna interpretazione dello spazio; alla seconda invece si chiede di determinare quale fosse il modello spaziale più adatto per l'analisi del mondo esterno. Con l'avvento della teoria della relatività si scoprirà che tale modello non è quello legato il principio chi dei ma quello elaborato dalla geometria ellittica.

 http://www.manuelacasasoli.altervista.org/pagine/approfondimenti/geometrie_noneuclidee.jpg

Eugenio Beltrami trovò un modello per la geometria di Lobacevskji, ossia aveva trovato all'interno della geometria euclidea, una superficie di rotazione, la pseudosfera, che poteva essere interpretata come un modello euclideo di geometria non euclidea. In questo modo dimostrava che la geometria di Lobacevskji ha lo stesso diritto logico-matematico della classica geometria di Euclide.

per capire come avviene questa "traduzione" occorre introdurre la nozione di geodetica.

Nel piano il percorso più breve che unisce due punti si trova sulla retta passante per i due punti. Estendendo questo concetto alle superfici, il percorso più breve che unisce due punti della superficie si trova su di una linea, generalmente curva, detta geodetica. Per esempio, dovendosi muovere sulla superficie di una sfera, il percorso più breve non è quello rettilineo, perché non esistono percorsi di questo tipo, ma è l'arco di cerchio massimo, che in questo caso è una geodetica.

http://www.quaderni.org/wp-content/uploads/Limite-cerchio.jpg

http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/File/Beltrami1.htm

 

Albert Einstein (1879-1955)

Einstein nacque il 14 marzo del 1879 in Germania da genitori ebrei, la biografia della sua infanzia testimonia una straordinaria precocità ma anche una curiosa lentezza e timidezza. All'età di soli 5 anni suo padre gli mostrò una bussola tascabile ed Einstein realizzò che qualcosa lo spazio vuoto agiva sul lago spostandolo in direzione del Nord in seguito a questa esperienza come una delle più liberatorie della sua vita. Era un bambino di indole solitaria e imparò a parlare molto tardi (da adulto Einstein affermo che proprio questa sua lentezza gli aveva consentito di applicare al problema dello spazio e del tempo uno studio intellettuale maggiore). È noto che i suoi risultati scolastici non fossero brillanti, detestava il sistema autoritario di insegnamento tedesco e ben presto entrò in conflitto coi professori; quando cercò di essere ammesso al Politecnico di Zurigo, non avendo la regolare licenza media, fu rifiutato e non riuscì nemmeno a superare gli esami di ammissione. Tuttavia il direttore del Politecnico rimase impressionato dalle capacità mostrate dal ragazzo nelle materie scientifiche e lo esortò a non rinunciare. L'anno successivo dopo aver rimediato alle carenze vene accettato al Politecnico e decise di dedicarsi alla fisica.

Nel 1900 Dopo la laurea vene assunto all'ufficio brevetti di Berna ciò gli permise di avere molto tempo da dedicare allo studio. Dopo pochi anni il giovane studioso fu in grado di pubblicare 5 contributi teorici che segnarono il suo ingresso nel mondo scientifico:

L’articolo d’apertura è quello sulle dimensioni molecolari (sulle moli), il secondo sul moto browniano, entrambi tentativi di estendere e perfezionare l’approccio della meccanica classica. Seguono due scritti riguardanti la teoria della relatività ristretta: uno nel quale viene abolita la nozione di tempo assoluto e viene avviata la rivoluzione relativistica, l’altro, prodotto pochi giorni dalla pubblicazione degli altri articoli, è una breve annotazione della famosissima equazione di Einstein E = mc2. L’ultimo articolo riguarda la natura della luce e suggerisce la necessità di ritornare, almeno in parte, all’idea newtoniana che la luce sia formata da particelle, e non possa essere trattata esclusivamente come un onda elettromagnetica.

Nel 1916 pubblica un articolo intitolato i fondamenti della teoria della relatività generale frutto di oltre 10 anni di studio e che lui stesso considerò il suo maggior contributo scientifico. Allo scoppio della prima guerra mondiale Einstein fu tra i pochi accademici tedeschi a criticare pubblicamente il coinvolgimento della Germania nella guerra. All'inizio degli anni trenta con l'intensificarsi delle persecuzioni antiebraiche Einstein si vedi costretto a migrare negli Stati Uniti e divenne professore a Princeton, decise in seguito di rinunciare alla cittadinanza tedesca e Svizzera e si naturalizzò americano. Morì il 18 aprile 1955.

Non tutti i contemporanei di Newton concordarono con lui, in particolare Gottfried Leibniz rimase convinto che il moto fosse solo relativo ad altri oggetti e che spazio e tempo fossero espressioni utili solamente per definire tale relazione; certo l’esperimento del secchio continuava a non avere altra soluzione al di là di quella proposta da Newton, così che l’idea newtoniana rimase dominante per circa trecento anni.

A fianco dell’interpretazione fisica del fenomeno tempo si svilupparono altre idee, tra cui spicca quella del grande filosofo tedesco Immanuel Kant. Egli ripropose l’idea che il tempo sia qualcosa di intrinseco alla natura dell’uomo, cioè una forma a priori della sensibilità, così che esso è assoluto rispetto all’uomo che non può pensare senza di esso ma relativo rispetto al mondo in quanto esterno ad esso. Il filosofo di Königsberg ha sottolineato, anche, come il tempo più che al movimento si lega alla categoria di causalità: l’ordine di successione temporale nell’uomo è ricondotto all’ordine causale. In pratica ogni cosa è individuata in un tempo ben preciso solo a condizione che “nello stato precedente vi sia un’altra cosa che a essa debba seguire sempre”.

Il primo a mettere in discussione l’idea fisica di spazio e di tempo proposta da Newton fu il filosofo austriaco Ernest Mach. Mack contesta a Newton il fatto che egli non avesse considerato nessun altro oggetto al di la del secchio e dell’acqua, in realtà egli nota come ad ogni modo vi sia da considerare l’ambiente circostante il secchio; quant’anche questo fosse appeso in una stanza completamente vuota vi sarebbe pur sempre le pareti, ma anche togliendo queste e collocando il secchio al centro dell’universo vi sarebbero altri riferimenti come le stelle. Dunque anche l’avvallamento dell’acqua stesso dipenderebbe dal resto della materia presente nell’Universo. Mack sostiene che se vi fosse la possibilità di effettuare l’esperimento in un universo realmente vuoto non vi sarebbe alcun moto e neanche nessun avvallamento della superficie dell’acqua. In sostanza nella condizione di un Universo vuoto non solo non percepiremmo alcunché, ma perfino il concetto di movimento, velocità ed accelerazione non avrebbero alcun senso. Secondo questa idea il tempo e lo spazio, e con loro il movimento, erano determinati dal fatto che nell’Universo vi era della materia. In questo quadro non sarebbe più necessario ammettere uno spazio e un tempo assoluto; ovviamente intorno all’ipotesi di Mack rimangono aperte tante domande, per esempio, come possono stelle lontanissime influire sull’acqua del secchio.

 

https://www.focus.it/site_stored/imgs/0003/048/020.900x600.jpg

http://newton.corriere.it/club/einstein/1.jsp

https://www.matematicamente.it/wp-content/uploads/2017/05/lesperimento-michelson-morley-fig-1-615x433.png

https://www.youtube.com/watch?v=if3lc6jT-28

http://www.marconi-galletti.it/progetti/sito_scienza_900-5LA/premesse/duplice_natura_della_luce_file/image002.jpg

https://www.youtube.com/watch?v=PAnRqaki574

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https://www.youtube.com/watch?v=Vw0qCpA_08w

Maxwell sulla termodinamica e i moti delle molecole. In particolari questi ultimi studi sono alla base delle equazioni messe appunto da H. Lorentz fondamentali per la teoria elaborata da A. Einstein e fondamentali per lo studio delle proprietà particolari della luce.

Nel 1887 Albert Michelson e Eduard Marley fecero diversi esperimenti sulla velocità della luce i cui risultati risultarono quanto meno singolari. Essi misurarono la velocità della luce e trovarono un valore prossimo ai 300.000 km/s; tuttavia secondo quella che era la concezione newtoniana e galileiana dello spazio e del tempo, tale velocità avrebbe dovuto risentire quanto meno del moto terrestre, così che il risultato ottenuto non sarebbe coinciso con quello effettivo ma con una sua approssimazione. Partendo da questo assunto essi, per calcolare la differenza tra velocità reale e apparente, effettuarono il seguente esperimento: presero due fonti di luce e le posero una di fronte all’altra di modo che una risultasse in linea col moto terrestre ed una in senso contrario. In questo modo i relativi rivelatori di luce avrebbe dovuto rivelare una seppur minima differenza nella velocità dei due fasci di luce; tuttavia con loro grande stupore registrarono che la velocità ed i tempi di percorrenza rimanevano identici.

Il senso comune vorrebbe che: come una persona che cammina con una velocità di 2 km/h su di un treno, che procede alla velocità di 100 km/h, rispetto al suolo sul quale e situata la ferrovia si muove di 102 km/h, così una luce posta sul medesimo treno dovrebbe spostarsi rispetto al terreno di 300.000 km/s più la velocità del treno. Questo era quello che anche Marley e Michelson pensavano. Ma tutto ciò non accadeva.

Attraverso l’analisi di questi studi Einstein giunse nel 1905 alla formulazione della Teoria della relatività ristretta e nel 1916 alla formulazione della Teoria delle relatività generale; L’Universo da questo momento sarebbe cambiato radicalmente.

Einstein aveva scoperto che la velocità della luce, al di là di ogni condizione, rimaneva costante ed era pari a circa 299.000 km/sec. e che lo spazio ed il tempo non erano affatto assoluti, come ipotizzava Newton, ma relativi al moto dei corpi: aumentando o rallentando la velocità di un corpo le sue dimensioni subivano delle variazioni e con esse anche la sua dimensione temporale. Nel 1905 Albert Einstein propose una soluzione originale. Einstein suppose che se era vero che la velocità di un corpo in generale è data dallo spazio fratto il tempo, e se la velocità della luce era effettivamente costante a prescindere dal punto di riferimento adottato, allora dovevano essere spazio tempo a variare nel caso di velocità prossime a quella della luce. Ciò non solo spezzava l’assunto newtoniano che queste fossero entità assolute, ma anche quello kantiano che queste fossero forme relative rispetto alle cose ma universali rispetto ai soggetti. Cosa significava tuttavia dire che spazio e tempo erano relativi? Per Einstein significava sostenere che con l’aumentare della velocità di un corpo anche lo spazio ed il tempo cambiavano la loro estensione, così che un orologio che è portato al braccio di un pilota d’aereo al volante del suo veicolo alla velocità di 300 km/l gira sensibilmente più lentamente di uno posto al braccio di un signore comodamente fermo in poltrona a leggere il giornale. Questo significava anche che, a differenza di ciò che pensava Newton il movimento nello spazio non è distinto dal movimento nel tempo: un auto parcheggiata in garage ci appare ferma ma in realtà si sta muovendo nel tempo (con una velocità pari al valore assunto dalla velocità della luce); se l’auto fosse messa in moto per andare a fare una scampagnata e percorresse la strada ad una velocità media di 50 km/h, parte del suo moto nel tempo verrebbe sottratto ed impiegato per il movimento nello spazio. In sostanza il “moto totale” (nello spazio e nel tempo) di un oggetto aveva un valore identico alla velocità della luce e poiché questo era costante, se se ne utilizzava di più per il movimento nello spazio, ne rimaneva meno per il movimento nel tempo e vice versa. Ecco perché la velocità della luce rimaneva immutata: questa infatti, svolge già tutto il suo moto nello spazio, in sostanza non ha più moto temporale da poter utilizzare, alla velocità della luce il tempo smette di scorrere!

Anzi il tempo non era altro che una quarta dimensione intrinsecamente connessa alle tre dimensioni spaziali: vi era cioè un continuum spazio-temporale (la formulazione è da attribuirsi ad uno dei professori di matematica di Einstein del politecnico di Zurigo Hermann Minkowski). Peraltro un corpo in movimento è evidentemente carico di una maggior energia, ciò non poteva che significare che lo spazio-tempo non variava solo in presenza di una sostenuta velocità, ma in presenza di grandi quantità di energia. Il problema era trovare che cosa fosse realmente questa energia; Sempre nel 1905 al margine dei precedenti articoli, Einstein inviò un appunto di 3 cartelle contenete la sua celebre equazione E=mc2.

Quando il giovane scienziato propose queste tesi non vi era modo di confermare sperimentalmente i calcoli matematici; solo nel 1971 Joseph Hofele e Richard Keating collocarono alcuni orologi atomici al cesio su un aereo di linea Pan Am che fece il giro del mondo. Quando li confrontarono con altri identici, rimasti fermi a terra, notarono che i primi due indicavano una minor quantità di tempo trascorsa. La differenza era minima alcune centinaia di millesimi di secondo, ma in perfetta sintonia con le previsioni fatte dalla teoria della relatività di Einstein che sfortunatamente non ha potuto assistere a questo risultato.

Tornando all’esperimento del secchio di Newton, appare a prima vista che Einstein desse ragione a Mach; in realtà secondo la teoria della relatività i fenomeni osservati nella rotazione del secchio si verificherebbero anche in uno spazio completamente vuoto. Questo perché malgrado spazio e tempo siano relativi tra loro ed assumano valori distinti a seconda delle condizioni, il tessuto spaziotemporale in quanto entità per Einstein non è meno reale dello spazio e del tempo newtoniano, anzi tale concetto sta alla base della riformulazione della legge di gravità (motivo per il quale il nome di legge di relatività allo scienziato non piaceva molto). Einstein si era posto il problema di come materialmente si trasferisse la forza di gravità da un corpo ad un altro. Egli invece di considerare l’esistenza di una specie di forza che attraverso una qualche sostanza si sarebbe trasmessa da un corpo ad un altro, ipotizzo che la gravità non fosse altro che l’increspatura e la curvatura dello spaziotempo in prossimità di una massa o di una fonte di energia. In sostanza lo spazio si sarebbe comportato come una superficie flessibile; se sopra vi viene appoggiato un oggetto questa si incurva creando un avvallamento intorno all’oggetto, se, invece, non è soggetta ad alcuna pressione essa rimane liscia e senza irregolarità. Pur tenendo conto che si tratta di uno spazio tridimensionale è possibile farsi un idea di ciò che accade prendendo un foglio di carta tra le mani e poggiandovi al centro una bilia di metalli, lo spazio attorno alla bilia tenderà a curvarsi in virtù dell’avvallamento creato dalla pressione della bilia stessa su foglio. Dunque, in base a questa prospettiva, la “forza di gravità” non agisce tanto sui corpi circostanti quanto sullo spazio che li circonda. La Terra non è direttamente attratta dal Sole, ma scorre lungo le curvature dello spazio prodotte dalla grande massa del Sole. Allo stesso modo noi siamo attratti al suolo perché scivoliamo pressoché in verticale sullo spazio che circonda la Terra, ed è solo grazie al terreno sottostante che ci è impedito di sprofondare al centro del pianeta. Tale teoria permette di calcolare, con una precisione assai più elevata, le orbite e le traiettorie dei corpi nello spazio che risulta pieno di curvature ed irregolarità prodotte dalla presenza di stelle e pianeti; anche la luce subiva delle deviazioni in prossimità delle masse stellari. Il tutto rende effettivamente reale lo spaziotempo o, come avrebbe voluto Newton, lo rende assoluto. Einstein calcolò anche che la velocità con cui la gravità si trasmette da una massa allo spazio circostante è esattamente pari alla velocità della luce, che è appunto la velocità limite ammessa dalla teoria della relatività ristretta.

Ricapitolando: Einstein aveva costruito da un lato un’immagine relativa dello spazio e del tempo presi singolarmente dall’altro una struttura spaziotemporale reale ed assoluta; secondo lo scienziato ogni cosa era collocata in un punto ben preciso di questa struttura, rappresentabile come un lunghissimo parallelepipedo: se poniamo una serie di immagini in una struttura così fatta, ci rendiamo facilmente conto che a seconda di come sezioniamo lo spaziotempo (immaginiamo di fare dei tagli con un coltello) cambia il punto di osservazione cosi che due eventi, che secondo un certo taglio appaiono simultanei, in un altro possono risultare l’uno successivo all’altro.

Attraverso l’analisi di questi studi Einstein giunse nel 1905 alla formulazione della Teoria della relatività ristretta e nel 1916 alla formulazione della Teoria delle relatività generale; L’universo da questo momento sarebbe cambiato radicalmente.

Einstein aveva scoperto che la velocità della luce, al di là di ogni condizione, rimaneva costante ed era pari a circa 299.000 km/sec. e che lo spazio ed il tempo non erano affatto assoluti, come ipotizzava Newton, ma relativi al moto dei corpi: aumentando o rallentando la velocità di un corpo le sue dimensioni subivano delle variazioni e con esse anche la sua dimensione temporale. Anzi il tempo non era altro che una quarta dimensione intrinsecamente connessa alle tre dimensioni spaziali: vi era cioè un continuum spazio-temporale. Peraltro un corpo in movimento è evidentemente carico di una maggior energia, ciò non poteva che significare che lo spazio-tempo non variava solo in presenza di una sostenuta velocità, ma in presenza di grandi quantità di energia. Il problema era trovare che cosa fosse realmente questa energia; dopo numerosi studi Einstein formulò la sua celebre equazione E=mc .   Questa formula non solo crea un legame tra massa (m), velocità della luce (c) ed energia posseduta da un corpo, ma vuole dire che la forza di gravità non è altro che l’effetto di una massa verso lo spazio circostante che viene incurvato tanto di più quanto più grande è la massa che gli sta vicino, per cui i moti dei pianeti non sarebbero né ellittici né circolari, bensì rettilinei, ma su spazi curvi! Apparendo a noi come se fossero orbite ellittiche. Questo risolveva ogni problema di tipo meccanico sui moti planetari che in realtà non facevano altro che muoversi di moto rettilineo uniforme (la condizione naturale di ogni corpo in assenza di attrito) su spazi incurvati.

Nonostante questo, almeno per i primi anni della sua vita, Einstein rimase convito che l’universo fosse statico e dunque per impedire che la curvatura dello spazio facesse collassare tutte le stelle l’una sull’altra dovette postulare l’esistenza di una “costante cosmologica” (una forza antigravitazionale) che agisse in modo uniforme nello spazio tale da controbilanciare l’attrazione gravitazionale.

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Nel 1919 Arthur Eddington, direttore dell'osservatorio di Cambridge confermò la predizzione del fenomeno della deflessione della luce previsto dalla teoria generale della relatività

Eddington convinse il governo inglese di sua Maestà a finanziare due spedizioni, in quanto il fenomeno era visibile solo nella fascia euqatoriale dell'Atlantico, una si recò in Amazonia, l'altra sulle coste occidentali dell'Africa. Il 29 maggio 1919 furono acquisiti i dati e dopoqualche mese arrivò la conferma che le previsioni della teoria di Einstein erano esatte.

Quando fu chiesto allo scenziato come avrebbe reagito se l'esito lo avesse sconfessato invece che confermato, Einstein rispose con queste parole: "Mi sarebbe dispiaciuto per il buon Dio, perchè la teoria è corretta".

http://astrocultura.uai.it/astrofisica/einstein/LENS2.jpg

 L'epistemologia di Einstein

In un'altra lettera del 1952 all'amico Maurice Solavine troviamo questo disegno che riassume le idee di Einstein in proposito.

IL segmento orizzontale E rappresenta le esperienze immediate ovvero la base empirica. A rappresenta l'insime degli assiomi che sono alla base delle teorie. Einstein sostiene che non vi è un processo logico che permette di passare dalle esperienze agli assiomi, ma si tratta di un salto intuitivo. Quando abbiamo intuito gli assiomi da essi possiamo dedurre matematicamente degli enunciati speciali S, S1, S2...partendo dalla pretesa della loro vericidità vengono confrontati con l'esperienza. Il livello cruciale è pertanto quello degli assiomi e infatti Einstein ritiene che non vi sia distinzione tra scienza e filosofia, ma vi sia un unico bagaglio di concetti.

http://www.quinterna.org/pubblicazioni/rivista/04/einstein.htm

 

Paul Davies su Kurt Gödel

1992

da The Mind of God. Science and the Search for Ultimate Meaning

In questo brano lo scienziato Paul Davies spiega in modo semplice e originale, del tutto accessibile anche a chi non conosce la logica, il noto teorema di incompletezza formulato nel 1931 dal logico-matematico Kurt Gödel (1906-1978), illustrando i paradossi che crea e sottolineando la rilevanza e il peso che esso ebbe sui lavori logici successivi. Il teorema sarà destinato a rivestire un ruolo di primo piano a motivo delle sue influenze sul piano filosofico, fra cui spicca l’impossibilità di costruire un sistema assiomatico completo, poiché al suo interno esisteranno sempre proposizioni indecidibili.

Nonostante la sua superficiale plausibilità, l'interpretazione formalista della matematica ricevette un duro colpo nel 1931. In quegli anni il matematico e logico di Princeton Kurt Gödel dimostrò un teorema fondamentale secondo cui esistevano enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica poteva determinare la verità o la falsità. Questo teorema non lasciava vie d'uscita, perché forniva una dimostrazione irrefutabile che determinate cose, in matematica, sono realmente impossibili, persino in linea di principio. Il fatto che esistano proposizioni indecidibili in matematica provocò un grosso trauma perché sembrava minare gli stessi fondamenti logici della disciplina.

Il teorema di Gödel sorge da una costellazione di paradossi che circondano l'autoreferenzialità. Consideriamo, come semplice introduzione a questo argomento ingarbugliato, la sconcertante frase: «La presente proposizione è una bugia». Se la proposizione è vera, allora è falsa; e se è falsa, allora è vera. Questi paradossi dell'autoreferenzialità possono essere costruiti facilmente e sono profondamente interessanti; hanno confuso le persone per secoli. Una formulazione medioevale dello stesso dilemma è la seguente:

Socrate: «Ciò che Platone sta per dire è falso».

Platone: «Quello che Socrate ha appena detto è vero».

Il grande matematico e filosofo Bertrand Russell dimostrò che l'esistenza di tali paradossi colpisce al cuore la logica e mina qualunque tentativo diretto di costruire la matematica rigorosamente su un fondamento logico. Gödel adattò alla matematica queste difficoltà insite nel concetto di autoreferenzialità in modo brillante e insolito. Considerò la relazione fra la descrizione della matematica e la matematica stessa. Questa è abbastanza semplice da enunciare, ma richiede un'argomentazione lunga e molto intricata. Per farsi un'idea, si può immaginare di elencare le proposizioni matematiche etichettandole con 1,2,3... Combinare una sequenza di proposizioni in un teorema corrisponde dunque a combinare i numeri naturali che costituiscono le loro etichette. In questo modo le operazioni logiche sulla matematica possono essere fatte corrispondere alle proposizioni matematiche stesse. È questa l'essenza del carattere autoreferenziale della dimostrazione di Gödel. Identificando il soggetto con l'oggetto – proiettando la descrizione della matematica sulla matematica stessa – egli scoprì un paradossale circolo russelliano che conduceva direttamente all'inevitabilità di proposizioni indecidibili. John Barrow ha osservato di sfuggita che se una religione viene definita come un sistema di pensiero che richiede una fede in verità indimostrabili, allora la matematica è la sola religione che può dimostrare di essere tale.

L'idea chiave del teorema di Gödel può essere spiegata con l'aiuto di una storiella. In un paese lontano un gruppo di matematici che non avevano mai sentito parlare di Gödel si convinse che esisteva davvero una procedura sistematica per determinare infallibilmente la verità o falsità di qualunque proposizione sensata, e si propose di dimostrarlo. La loro procedura poteva essere eseguita da una persona, o da un gruppo di persone, o da una macchina, o da qualsiasi combinazione di queste tre possibilità. Nessuno sapeva con certezza quale combinazione avessero scelto i matematici, perché il sistema era situato in un grande edificio universitario, piuttosto simile a un tempio, e l'ingresso era vietato al pubblico. Comunque, il sistema venne chiamato Tom. Per controllare l'abilità di Tom gli venivano sottoposte complesse asserzioni logiche e matematiche di ogni tipo e, dopo il tempo necessario per l'elaborazione, arrivavano puntualmente le risposte: vero, vero, falso, vero, falso... Dopo non molto la fama di Tom si diffuse in tutto il paese. In molti venivano a visitare il laboratorio e aguzzavano sempre di più l'ingegno per formulare problemi sempre più difficili nel tentativo di mettere in difficoltà il sistema. Nessuno ci riuscì. La fiducia dei matematici nell'infallibilità di Tom crebbe a tal punto che persuasero il loro re a offrire un premio a chiunque riuscisse a sconfiggere il suo incredibile potere analitico. Un giorno, un viaggiatore che veniva da un altro paese giunse all'università con una busta e chiese di sfidare Tom. Nella busta c'era un pezzo di carta con una proposizione da sottoporgli. La proposizione, che possiamo indicare con «P» («P» sta per «proposizione» o per «paradosso»), diceva semplicemente: «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera».

P venne sottoposta a Tom. Erano passati appena pochi secondi che il sistema entrò in preda a una specie di convulsione. Dopo mezzo minuto un tecnico giunse correndo dal laboratorio con la notizia che Tom era stato disattivato a causa di problemi tecnici. Che cosa era accaduto? Supponiamo che Tom dovesse arrivare alla conclusione che P è vera. Questo significherebbe che la proposizione «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera» sarebbe stata falsificata. Ma se P è falsificata, non può essere vera. Così se Tom risponde «vero» a P, avrà raggiunto una conclusione falsa, contraddicendo la sua vantata infallibilità. Dunque Tom non può rispondere «vero». Siamo dunque giunti alla conclusione che P è effettivamente vera. Ma nel giungere a questa conclusione abbiamo dimostrato che Tom non può giungere a questa conclusione. Questo significa che noi conosciamo la verità di una proposizione che Tom non può dimostrare. Questa è l'essenza della dimostrazione di Gödel: che esisteranno sempre certe proposizioni vere che non possono essere dimostrate. Il viaggiatore, naturalmente, lo sapeva e non ebbe alcuna difficoltà a costruire P e intascare il premio.

È importante, tuttavia, rendersi conto del fatto che le limitazioni messe in luce dal teorema di Gödel riguardano lo stesso metodo assiomatico di dimostrazione logica, e non una proprietà delle proposizioni che si cerca di dimostrare (o di refutare). Si può sempre trasformare una proposizione vera che è indimostrabile all'interno di un dato sistema di assiomi in un assioma di qualche sistema esteso. Ma allora ci saranno altre proposizioni indimostrabili in questo sistema esteso, e così via.

Il teorema di Gödel fu una devastante battuta d'arresto per il programma formalista, ma l'idea di una procedura meccanica per indagare le proposizioni matematiche non venne abbandonata completamente. Forse le proposizioni indecidibili sono solo stranezze che possono essere eliminate dalla logica e dalla matematica? Se si trovasse un modo per distinguere le proposizioni decidibili da quelle indecidibili, allora determinare se una qualsiasi proposizione appartenente al primo gruppo sia vera o falsa potrebbe pur sempre essere fattibile. Ma è possibile formulare una procedura sistematica per riconoscere in modo infallibile le proposizioni indecidibili ed eliminarle? La sfida venne raccolta da Alonzo Church, un collaboratore di von Neumann a Princeton, il quale dimostrò presto che persino questa meta più modesta era irraggiungibile, almeno in un numero finito di passi. In altri termini: si potrebbero fare asserzioni matematiche potenzialmente vere o false, e si potrebbe intraprendere una procedura sistematica per controllare la loro verità o falsità, ma questa procedura non avrebbe mai termine: il risultato non potrebbe mai essere conosciuto.

Paul Davies, La mente di Dio, trad. it. M. D'Agostino e A. Gulotta, Mondadori, Milano 1993, pp. 117-121.

 

Karl Popper

 

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