Nel Terzo libro, intitolato Sistema mondo c’è l’applicazione della dinamica dei corpi terrestri a quelli celesti, utilizzando appunto le leggi di Keplero.
Veniamo alla grande intuizione di Newton sulla gravità, con l'immagine della famosa mela, pare sia stato Newton stesso a narrare la storia della mela (che però non lo colpì in testa). La grandiosa idea di Newton fu quella di ipotizzare che la forza di gravità che attrae i corpi al suolo sia la stessa forza che tiene in orbita la luna. https://3.bp.blogspot.com/-mBqndNO_lE8/WgQS3HN0oeI/AAAAAAAA0eM/Vv4Poa-4_zIM4UDp37p4EZFQ-wk2x7tCwCLcBGAs/s1600/newton.jpg
Egli sapeva che la distanza Luna-Terra era di circa 60 raggi terrestri (l’aveva calcolata già Aristarco), e siccome la forza sarebbe dovuta decrescere proporzionalmente al quadrato della distanza come predetto da Keplero, la gravità che agisce sulla Terra sarebbe dovuta essere 3600 volte maggiore rispetto alla forza con cui la Terra trattiene la Luna, proprio perché appunto il quadrato della distanza cioè 60 e 3600. Per fare i calcoli da prima Newton si affidò ai dati di Galileo sull'accelerazione gravitazionale terrestre che però erano approssimativi, quindi decise di calcolarla lui stesso utilizzando il pendolo giungendo alla cifra di 9,8 m/s2. A questo punto fece la proporzione con quella che sarebbe dovuta essere la gravità esercitata dalla Terra sulla Luna e ottenne un valore di 3660 volte più piccolo di quello terrestre, in sostanza, con qualche errore dovuto ai dati che andavano ancora perfezionati, il valore che ci si sarebbe aspettati se l’intuizione principale fosse stata corretta. La forza di gravità era dunque la legge che teneva insieme mondo celeste e mondo terrestre.
Per ottenere l'orbita planetaria bisognava comporre le due forze a cui era sottoposto il corpo celeste ovvero la gravità e la forza d'inerzia come descritto dalla legge del parallelogramma da cui risulta un moto più o meno circolare (quanto basta per non far cadere la Luna sulla Terra e quanto basta per non farla scappare via). Questa ipotesi però non è ancora la dimostrazione perché considera le orbite circolari e non ellittiche, a Newton rimaneva da dimostrare che la forza fossa inversamente proporzionale al quadrato della distanza anche in caso di moto ellittico. https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT0gyd5t4sBqB9Yx58Hffi_b-QIVPqM5xC60B4oAG1omhIYppDj
(Anche l'astronomo napoletano Giovanni Alfonso Borelli nel 1666 formulò l’importante ipotesi che il moto planetario fosse un moto composto, ovvero che esso dovesse essere la risultante di due vettori, uno dato dal moto del pianeta stesso e l’altro da una forza che egli identifico nella gravita).
Tuttavia mentre era relativamente facile dedurre una legge che stabilisse la relazione delle orbite se esse fossero state circolari, non lo era per le orbite ellittiche. L’ipotesi di fondo era che la forza di gravità dovesse essere tale da controbilanciare la forza centrifuga in modo tale che risultasse che i pianeti si muovessero più velocemente in prossimità del Sole come previsto. http://images.treccani.it/enc/media/share/images/orig/system/galleries/NPT/VOL_6/IMMAGINI/moto_01.jpg
Nel 1673 Huygens enunciò la legge della forza centrifuga, mostrando che essa variava in base alla lunghezza del raggio e tale variazione era inversamente proporzionale al quadrato del periodo: ma il quadrato del periodo, secondo la terza legge di Keplero, era proporzionale al cubo del raggio; ne conseguiva pertanto che la trazione gravitazionale o forza centripeta, necessaria a bilanciare la forza centrifuga, era uguale al raggio diviso per il suo cubo, cioè al quadrato inverso al raggio.
Robert Hooke (l’inventore del microscopio) all'epoca segretario della Royal Society cercò di dimostrare che la risultante di queste due forze che fanno orbitare la Luna intorno alla Terra fosse appunto proporzionale alla distanza, ma non vi riuscì. Questa ipotesi scaturisce direttamente dalla terza legge di Keplero, l’unico che per altro non se ne accorse durante i suoi studi. Oltre ad Hooke, Borrelli, Huygens nonché lo stesso Newton a partire dal 1679 anche altri studiosi della Royal Society si accorsero della relazione tra questi anche Edmund Halley amico di Newton e Christopher Wren.
Robert Hooke cercò in un primo momento di intrattenere una corrispondenza con Newton, anche se i due si erano scontrati riguardo alle tesi rivoluzionarie di Newton sulla natura della luce. Con la scusa di riconciliarsi Hooke sottoponeva a Newton la sua ipotesi sui moti planetari, essi dovevano essere dati da un moto rettilineo lungo la tangente e da un movimento attrattivo verso il corpo centrale.
Hooke aveva pubblicato un saggio dove proponeva una serie di novità sulle ipotesi relative ai moti planetari:
La prima ipotesi sosteneva che tutti i corpi celesti hanno un attrazione o un potere di gravitazione verso i propri centri che non solo attrae tutte le proprie parti, come fa la terra con gli oggetti terrestri, ma anche gli altri corpi che si trovano in prossimità dell’orbita di un pianeta.
La seconda supposizione prevede che i corpi continuano a muoversi in modo rettilineo finché non interviene un’altra potenza che ne incurvi la traiettoria.
La terza supposizione è che la forza attrattiva di un corpo é tanto più forte quanto più ci si avvicina al suo centro. Queste tesi erano il primo vero tentativo di superare la teoria dei vortici di Cartesio.
La corrispondenza tuttavia non fu fruttuosa per il carattere diffidente e poco affabile di Newton che addirittura disse ad Hooke che in base alle ipotesi così espresse il moto risultante sarebbe stato un aspirale e non un ellisse. Hooke dimostrò che non era così e che il moto sarebbe stato ellittico e scrisse nuovamente a Newton (fu l’unica volta che riuscì a correggere il suo rivale). Newton continuò a fare obiezioni ad Hooke e questo a rispondere. In un’ennesima lettera Hooke svelava quasi tutte le sue carte nella speranza di ottenere delle indicazioni da Newton e anticipava l’idea di una forza proporzionale al quadrato della distanza. Il problema era bilanciare i cambiamenti di velocità e di distanza per ottenere una curva chiusa con gli apsidi (ovvero gli estremi dell’orbita) stabili. L’idea di Hooke era quello di avvalersi della seconda legge di Keplero ovvero che la velocità è inversamente proporzionale alla distanza e della legge dell’inverso del quadrato. Hooke concluse lo scambio di lettere il 17 gennaio del 1680, cercando di sollecitare ancora l’aiuto di Newton, esortandolo a calcolare quale orbita sarebbe derivata da tale ipotesi. https://static.eduboom.it/eduboom_it/uploads/vidimgs/10102022-Le-leggi-di-keplero.jpg
Newton, non rispose ma accolse la sfida e dopo alcuni giorni dimostrò che un corpo che ruota intorno a un centro di forza descrive aree uguali in tempi uguali ovvero la seconda legge di Keplero, ma se ne guardò bene di inviare il risultato a Hooke. Newton dimostrò anche grazie a questa legge un pianeta sottoposto ad una forza che varia con l’inverso del quadrato della distanza descrive un'orbita ellittica.
Agli inizi del 1684 i tre scienziati sopra menzionati, Hooke, Halley e Wren, si siano riuniti alla Royal Society per discutere di scienze. Durante l’incontro tra le altre affermazioni discusse venne tirato in ballo da Hooke il fatto che anche per le orbite ellittiche, per quelle circolari ormai era stato accettato e condiviso, valeva la legge di Keplero e di essere in grado di mostrarlo. Halley, che era un grande astronomo (non dimentichiamo che lui riconobbe i diversi passaggi della cometa che oggi ha il suo nome), non gli credette. Da ciò nacque una scommessa suggellata da Wren (che non era da meno degli altri essendo l’architetto della cattedrale di St Paul a Londra): chi avesse risolto l’enigma avrebbe vinto quaranta scellini (poca cosa, diciamo una scommessa simbolica). Ma nessuno dei tre scienziati ebbe una soluzione. Halley nel fra tempo informò Newton della questione. Ma Newton aveva la soluzione! Halley dovette attendere appena un paio di mesi e poi ricevette un articolo scientifico intitolato De motu in cui vi era un elegante dimostrazione che, quando la forza di gravità è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, le orbite dei pianeti risultano effettivamente ellittiche. http://www.manuelmarangoni.it/onemind/wp-content/uploads/2017/04/Legge-di-gravitazione-universale-di-Newton.jpg
In realtà Newton aveva fatto ben di più, e nel 1687 lo mostrerà al mondo. Egli aveva dimostrato che le tre leggi di Keplero sono in realtà l’equivalente della formula della gravitazione universale intuita in occasione della mela. Ogni corpo dotato di massa attrae ogni altro corpo dotato di massa con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse stesse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. La dimostrazione non era frutto di un’epifania, ma di lunghi e tortuosi lavori che avevano avuto inizio nel 1665 e che erano proseguiti soprattutto dopo le scoperte e le rilevazioni compiute da Hooke. In realtà sarà solo tra il 1684 e il 1687 che Newton preciserà completamente la sua teoria, comprendendo che non è semplicemente il Sole ad attrarre i pianeti, ma che l’interazione è reciproca. https://cards.algoreducation.com/_next/image?url=https%3A%2F%2Ffiles.algoreducation.com%2Fproduction-ts%2F__S3__3a144812-c764-41d6-8b63-7325e605ddcc&w=2048&q=100