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Il sito è a cura del prof. Bernardo Croci, attualmente insegnante di filosofia presso il Liceo delle Scienze Umane Galilei di Firenze.

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La logica matematica del 1800 si collega direttamente ai lavori di Leibniz, egli come è noto ha tentato di dar corpo al sogno medievale di Raimondo Lullo a differenza del primo però il filosofo di Lipsia tento di costruire una sintesi algebrico formale attraverso l'istituzione di un linguaggio formalizzato da lui detto caratteristica universale e attraverso un sistema di regole coerenti che si ritrovano in parte nel testo del 1666 Dissertatio de arte combinatoria. Nel tentativo di elaborare questo ambizioso progetto Leibniz comprese anche che era possibile codificare l'algebra in un sistema binario, e comprese che si poteva rappresentare la logica sillogistica di Aristotele attraverso gli insiemi. Nel corso del XVIII secolo molti studiosi proposero tentativi analoghi a quello intrapreso da Leibniz ma non riuscirono ad andare oltre ai risultati del filosofo tedesco.

Il primo grande logico dell'800 è Augustus De Morgan (1806- 1871) il suo contributo può essere riassunto nell'aver per primo applicato alla logica le tecniche algebriche, egli sostenne che la logica è il frutto di operazioni su simboli in base a regole di combinazione così come lo era la matematica. Egli è anche noto per aver formulato le due leggi di Morgan che affermano rispettivamente l’una che la negazione di una congiunzione “non (piove e è giorno)” equivale alla disgiunzione “o(vel) non piove o(vel) non è giorno”, l’altra che la disgiunzione “non (piove o è giorno)” equivale alla congiunzione “non piove e non è giorno”. Leggi che per onor del vero erano stata già trattate dalla logica proposizionale degli stoici che però sarà analizzata in modo rigoroso solo nel 1953.

http://www.treccani.it/enciclopedia/de-morgan-leggi-di_%28Enciclopedia-della-Matematica%29/

Se pur modesto nei risultati il lavoro di Morgan aprì la strada all'algebra di George Boole presentata e discussa in due volumi L'analisi matematica della logica del 1847 e Un indagine sulle leggi del pensiero del 1854.

George Boole (1815-1864) nacque in Inghilterra a Lincoln in una famiglia di origini umili. Il padre era un ciabattino il quale tuttavia aveva trovato un'associazione culturale nella sua città dove poter coltivare la sua passione per la scienza è la tecnologia. Grazie all'accesso ai libri della biblioteca dell'associazione paterna Boole da autodidatta riuscì ad apprendere la matematica avanzata e dopo aver svolto per qualche anno l'attività di insegnante in scuole private venne chiamato ad insegnare alla Queens College di Cork in Irlanda. Dopo essersi costruito una solida reputazione di matematico, ancorché di logico, entrò in contatto con Augustus De Morgan.

L'algebralizzazione della logica compiuta Boole si fonda su una semplice trasmutazione dei valori semantici che possono assumere le proposizioni, in altre parole i valori di verità, vero o falso nei valori algebrici 1 e 0. a fianco a questa intuizione Boole costruì le leggi necessarie a tradurre le operazioni logiche che si effettuano con i connettivi ( negazione congiunzione, disgiunzione, implicazione...)in operazioni di tipo algebrico. Facciamo alcuni esempi prendiamo in esame la negazione, essa è un'operazione che nega una verità producendo falsità o nega una falsità restituendoci la verità, operando con alcune leggi dell'algebra binaria di Leibniz si può tradurre quanto detto nelle espressioni 1-1=0 (non è vero che piove) e 1-0=1 (non è vero che non piove). Per quanto riguarda la congiunzione possiamo tradurre una proposizione complessa del tipo “piove e è giorno”, ammesso che entrambe le proposizioni semplici siano vere, con 1•1=1 e vedremo con altrettanta semplicità che se una delle due affermazioni è falsa (valore 0) otteniamo una proposizione complessa falsa infatti 1•0=0.

http://www.dacrema.com/Informatica/Algebra_Boole.htm

In buona sostanza l'algebra booleana è uno strumento che traduce le operazioni logiche in operazioni algebriche, e avvalendosi dell'algebra binaria, delle operazioni algebriche in operazioni logiche.

Grazie alla sua algebra George Boole comprese che si poteva descrivere con le stesse equazioni sia la logica sillogistica sia quella proposizionale. Ciò significava a sua volta che, in base a quanto già scoperto da Leibniz a proposito possibilità di rappresentare il sillogismo attraverso gli insiemi, l'algebra booleana poteva essere uno strumento per codificare anche insiemistica.

L'altro grande contributo alla nascita della logica matematica, che nuovamente prende avvio dagli studi compiuti da Leibniz, è quello del matematico è logico tedesco Georg Cantor il quale ha dato corpo costruendo nei fondamenti alla teoria degli insiemi.

Georg Cantor, una delle maggiori intelligenze del diciannovesimo secolo (Russell, Autobiografia), nacque il 19 febbraio 1845 a San Pietroburgo. Nel 1856 si sposta con la famiglia a Francoforte a causa della salute precaria del padre; qui, malgrado i tentativi del padre di fargli studiare ingegneria, coltiva la sua attitudine verso le discipline matematiche. Nel 1863, dopo la morte del padre, inizia a frequentare l'università di Berlino, ove si applica alla fisica, alla matematica e alla filosofia. Ebbe diversi maestri, fra i matematici Weierstrass, Kummer e Kronecker. Sotto l'influenza di quest'ultimo si laureò nel 1867 e ottenne la libera docenza. Sotto l'influenza di Weierstrass i suoi interessi si spostarono verso la teoria delle funzioni, concentrandosi in particolare sul problema della rappresentabilità di una funzione in serie trigonometrica. Nel 1871 viene chiamato come docente straordinario ad Halle dove inizia a lavorare alla teoria degli insiemi. Nel 1879 diviene ordinario, sempre ad Halle, e nel 1884 si compare la prima manifestazione della malattia nervosa che a più riprese si ripresenterà e che lo condurrà alla morte, avvenuta nella clinica psichiatrica di Halle nel 1918.

Tutta la teoria insiemistica di Cantor si fonda su due principi basilari: il principio di comprensione e il principio di estensionalità.

In base al principio di comprensione tutte le volte che riusciamo a definire una proprietà esiste un insieme che contiene tutte e sole le cose che godono di quella proprietà, infatti ogni proprietà determina un insieme costituito da tutti e soli gli oggetti che godono di quella proprietà. Per esempio alla proprietà essere un albero corrisponde l’insieme degli alberi, e alla proprietà di essere una figura delimitata da tre lati corrisponderà l'insieme dei triangoli. Ne consegue che l'insieme degli elementi che corrispondono a una proprietà è detto estensione di quella proprietà, nel caso in cui non esista alcun oggetto che gode di quella proprietà avremo l'insieme vuoto, ovvero un insieme privo di elementi.

A partire da queste due proprietà Cantor è riuscito a dare una definizione puramente insiemistica del concetto di numero naturale senza fare ricorso all'idea di numero o di quantità. Per definire il concetto di numero Cantor sia valso della relazione detta di equipotenza: due insiemi A e B sono chiamati equipotenti quando sono in corrispondenza biunivoca. Ciò significa che è possibile associare ogni elemento di A uno e uno soltanto degli elementi di B e viceversa. Da ciò segue che il numero cardinale di un insieme A è l'insieme di tutti gli insiemi che sono equipotenti ad A.

Con l’opera di Cantor si è concluso il percorso iniziato da Leibniz che porta alla nascita della logica matematica, e che cerca di creare un legame stretto tra le regole del pensiero e quelle della matematica, riaccendendo il dibattito sul pitagorismo e il platonismo, va ricordato infatti che Cantor crede fermamente nell’esistenza autonoma degli enti matematici.

http://www.euclide-scuola.org/files/N.%206%20a%20N.%2011%20-%20Euclide%20anno%202012/N.%2011%20%2815%20dicembre%202012%29/6.%20Giovanni%20Salmeri%2C%20Piccola%20storia%20della%20Logica.%20%20Il%20Novecento%20%28Parte%20II%29.pdf

Nella formulazione della teoria degli insiemi Cantor si imbatte nel problema dell’infinito. Da sempre il problema dell’infinito aveva generato difficolta insormontabili come i paradossi di Zenone e tale concetto era stato ostracizzato dagli antichi e dai medioevali. Tali problemi erano stati solo parzialmente risolti dal calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz. Uno dei problemi irrisolti era ben rappresentato dal paradosso trovato da Galileo nel ‘600. Egli aveva mostrato che presa una circonferenza ed una più piccola concentrica alla prima, malgrado la seconda abbia una grandezza minore, ogni punto della circonferenza più grande trovava posto in quello più piccola. In termini di teoria degli insiemi esse potevano essere messe in corrispondenza biunivoca.

Cantor intanto si pose il problema della definizione di insieme infinito affermando che un insieme può essere considerato infinito quando può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria (un suo sottoinsieme), si pensi all’insieme dei numeri naturali e a quello dei numeri pari. Questa è una definizione fortemente contro-intuitiva perché mostra una equipotenza tra due insieme di cui uno appare chiaramente più grande del secondo.

La grande intuizione di Cantor è che sia necessario definire rispetto a cosa si può dire che una cosa sia uguale ad un'altra. Ovvero bisogna distinguere se si tratta di una uguaglianza in base alla numerabilità oppure in base alla dimensione. Mentre per dimensione i due insiemi sono diversi, sono uguali per numarabilità, in conclusione sono equipotenti ma non identici. Il numero naturale è così definibile come numero cardinale di un insieme finito, ovvero i numeri naturali sono i numeri cardinali di insiemi finiti. Sulla base di quanto detto quale sarà il numero cardinale dell’insieme infinito di tutti i numeri naturali? Cantor ha proposto di chiamarlo No (Aleph con zero). Questo non è un limite, per secoli si è creduto che il concetto di infinito fosse un concetto limite ed invece Cantor ha dimostrato che vi è una cardinalità anche degli infiniti, per esempio il numero dei numeri reali è più grande di quello dei numeri razionali. Mentre i primo possono descrivere i punti di una retta (ipotesi del continuo) i secondi no. Lo vedo ma non lo credo! Cantor ha dimostrato che esistono infiniti cardinali di infiniti, definiti da lui numeri Transfiniti per riservare il concetto di infinito solo a Dio.