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Il sito è a cura del prof. Bernardo Croci, attualmente insegnante di filosofia presso il Liceo delle Scienze Umane Galilei di Firenze.

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Gottlob Frege nacque nel 1848 a Wismar. Nel 1869 si iscrisse all'Università di Jena dove studio matematica, fisica e filosofia sotto la guida di Kuno Fischer. Nel 1874 ottenere l'abilitazione all'insegnamento universitario e inizio a insegnare come libero docente all'Università di Jena.

Di fede luterana, Frege è un nazionalista che non vedeva di buon occhio le esigenze democratiche e progressiste, poco incline al compromesso, ma di grande onestà intellettuale.

Nel 1879 esce il suo primo libro Ideografia, che all'epoca non ebbe il successo sperato mentre oggi è considerata una delle opere più innovative del suo tempo. A causa dello scarso successo dell'opera Frege decise di dedicarsi alla ricerca dei fondamenti dell'aritmetica. In particolare Frege voleva ridurre l'aritmetica alla logica, questa operazione era estremamente interessante per il dibattito dell'epoca, il suo tentativo portò alla pubblicazione de I fondamenti dell'aritmetica nel 1884.

A partire dal 1890 inizia la stesura della sua grande opera quella che egli considerava come il suo opus magnum, nel 1893 pubblica il primo volume dei Principi dell'aritmetica, ma quando nel 1902 era in procinto di pubblicare il secondo volume fu informato da Bertrand Russell della presenza di una contraddizione nel suo sistema logico.

Estremamente turbato dalla scoperta abbandonò gli studi di aritmetica e di logica per dedicarsi alla geometria senza però ottenere grandi successi. Malgrado il fallimento del suo progetto egli fu riconosciuto come un personaggio decisivo per la nascita della filosofia analitica da parte di Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein (che fu molto legato a Frege) e da Rudolf Carnap.

Frustrato dagli insuccessi accademici nell'ultima parte della sua vita, dopo essersi ritirato nella cittadina natale di Wismar, accentuò le sue idee conservatrici ed antisocialiste e giunse anche a sostenere alcune tesi antisemite. Sì spense nella sua città nel 1925.

L’ideografia e la distinzione tra senso e significato

La filosofia di Frege, come l’algebra di Boole, prende le mosse dall'idea di realizzare quello che Leibniz aveva cercato di fare attraverso l'ideazione di una caratteristica universale. Frege immaginò che ciò fosse realizzabile attraverso una scrittura per concetti o ideografia cioè una notazione simbolica che abbia le caratteristiche del linguaggio aritmetico e sia in grado di esprimere in maniera trasparente i contenuti concettuali e le relazioni logiche presenti nel linguaggio. In sostanza Frege vuole mettere la logica matematica a disposizione della filosofia, rendendo meno ambiguo il linguaggio ordinario. Un esempio può essere formulato nel modo seguente: nel linguaggio ordinario le proposizioni "a Platea i Greci sconfissero i Persiani" e "a Platea i Persiani furono sconfitti dai Greci" sono strutturalmente diverse, ma a livello logico esse esprimono lo stesso contenuto di pensiero, attraverso l'idrografia Frege voleva riuscire a codificare queste proposizioni attraverso una medesima configurazione simbolica.

La filosofia di Frege si basa su un’analisi del linguaggio in riferimento alla logica che viene poi utilizzata per tracciare la sua filosofia della matematica. Le questioni principali del suo pensiero a riguardo della filosofia della logica e del linguaggio vengono espresse in due saggi, “Senso e significato” e “Concetto e oggetto”.

In “Senso e significato” Frege si propone di analizzare il problema dell’uguaglianza tra enunciati: un enunciato della forma t = t (es. Cesare = Cesare) è uguale oppure no a un enunciato della forma t =s (es. Cesare = il conquistatore della Gallia)? Ovviamente se ci basiamo solamente sul suo riferimento sembrerebbero uguali dato che il termine “Cesare” e il termine “il conquistatore della Gallia” si riferiscono allo stesso individuo che è appunto Cesare. Quindi non sembrerebbe esserci alcuna differenza. Quello che Frege sottolinea, però, è che i due enunciati hanno diverso valore conoscitivo, dato che quando asserisco che “Cesare è il conquistatore della Gallia” sto asserendo qualcosa in più dalla semplice identità di Cesare con sé stesso. A questo proposito, Frege inserisce una distinzione fondamentale, quella tra significato e senso. Il significato di un termine è l’individuo a cui il termine si riferisce: il termine “Cesare” e il termine “il conquistatore della Gallia” si riferiscono entrambi a Cesare e quindi hanno lo stesso significato. Il senso di un termine è invece il suo contenuto concettuale ovvero le informazioni che il termine veicola: il termine “Cesare” veicola informazioni diverse da quelle veicolate da “il conquistatore della Gallia”, che per esempio fa riferimento a un’azione, a un evento o a una nazione. Infatti termini come “il conquistatore della Gallia” sono per Frege descrizioni definite ossia termini diversi dai nomi propri ma che hanno la stessa funzione dei nomi propri, ossia quella di riferirsi a un individuo specifico, veicolando però un senso diverso da essi.

Riguardo a questo punto, è necessario sottolineare un’altra distinzione: quella tra concetto e oggetto, espressa da Frege nell’omonimo articolo. I concetti sono parole che hanno un uso esclusivamente predicativo (es. un uomo, un pianeta… quindi termini generali) mentre gli oggetti sono parole che non possono essere usati come predicati ma solo come soggetti (es. il conquistatore della Gallia, la stella del mattino, Cesare, Venere… quindi termini specifici). Per chiarire meglio questa distinzione, dobbiamo analizzare il verbo essere. Se dico che “Cesare è il conquistatore della Gallia” oppure che “Venere è la stella del mattino” non sto utilizzando i termini “il conquistatore della Gallia” e “la stella del mattino”, che sono descrizioni definite e quindi oggetti, come concetti (ossia predicati) perché questo è impossibile. A prima vista può sembrare che io stia facendo questo ma in realtà non è così; io sto asserendo semplicemente una relazione di identità tra oggetti e quindi il verbo essere è usato come segno di uguaglianza. Se invece asserisco che “la stella del mattino è un pianeta” allora in questo caso sto unendo un oggetto a un concetto tramite il verbo essere che qui è usato come copula e non più come segno di uguaglianza. Può sembrare inoltre che se io dico “c’è almeno una radice quadrata di 4” sto usando il concetto “una radice quadrata di 4” come soggetto e non come predicato. In realtà sto dicendo che “esiste almeno un individuo specifico che è una radice quadrata di 4” e quindi rimane il suo uso predicativo. In linea generale, dice Frege, i concetti sono termini preceduti sempre e solo da articoli indeterminativi mentre gli oggetti sono nomi propri o descrizioni definite, quindi termini che sono preceduti da articoli determinativi. Inoltre un oggetto ha come significato un individuo specifico, mentre un concetto ha un insieme di individui.

Rimanendo sempre in tema di analisi del linguaggio, dopo aver trattato i termini bisogna trattare gli enunciati. Così come i termini, anche gli enunciati hanno un senso e un significato ma con una differenza. Anche per gli enunciati il senso è il loro contenuto concettuale, ossia quello che asseriscono, che dipende dal contenuto concettuale dei termini che lo compongono. Il significato invece è il loro valore di verità. Il vero e il falso, quindi, sono per gli enunciati quello che gli individui sono per i termini.

I fondamenti del programma logicista: ricondurre l’aritmetica alla logica

A questo punto è possibile vedere come quanto detto finora viene utilizzato da Frege per formulare la sua filosofia della matematica.

La matematica possiede degli oggetti che sono i numeri. Possiede anche dei concetti, definiti in matematica come funzioni. Le funzioni sono indicate con la formula generale f(x) e quindi sono delle espressioni di calcolo che contengono una parte indeterminate. Una funzione è un concetto per il seguente motivo: se io dico x2 non mi sto riferendo a un individuo specifico così come non mi riferisco a un individuo specifico se dico “un uomo”. Mi riferisco a un individuo specifico quando sostituisco alla x un nome di un numero, così come mi riferisco a un individuo specifico quando definisco chi intendo quando dico “un uomo”.

Frege chiama “argomento della funzione” il numero che sostituisco alla x e “valore di una funzione” il numero che ottengo una volta che ho sostituito un certo argomento alla x. Quindi se ho la funzione x2 e sostituisco alla x il numero 3, avrò come argomento della funzione il numero 3 e come valore della funzione il risultato dell’operazione 32 ossia 9.

Anche per quanto riguarda la matematica posso distinguere i termini dagli enunciati. Frege però fa un’unica distinzione, quella tra termini singolari e termini generali. L’insieme dei termini singolari comprende termini come “1”, “3+2” ecc. ed enunciati come “3+2=5” (gli enunciati della matematica hanno la forma dell’uguaglianza). L’insieme dei termini generali comprende invece termini come “x2”, “x+2”, “2(x2+x)” ecc. ed enunciati come “x2=1”, “(x+1)2 = 2(x+1)” ecc.

Un termine singolare inteso come singolo termine ha un senso e un significato. Il significato è l’individuo a cui si riferisce. Per esempio: “1” ha come significato 1, “3+2” ha come significato 5 ecc. Un termine singolare inteso come enunciato ha anch’esso un senso e un significato ma il significato è, in questo caso, un valore di verità. Per esempio: “3+2=5” ha come significato il vero mentre “5+7=20” ha come significato il falso.

La situazione è più complessa nei caso dei termini generali. Proprio come i termini generali del linguaggio naturale, una funzione intesa come singolo termine (ossia “x2” oppure “x+2” ecc..) non si riferisce a un singolo individuo ma a una collezione di individui. Infatti in base al numero che sostituisco alla x, otterrò individui diversi che di volta in volta saranno il significato della mia funzione. E’ opportuno a questo proposito definire il decorso dei valori. Il decorso dei valori di una funzione intesa come termine è l’insieme dei numeri tali che, sostituendo il loro nome alla x della funzione, la funzione denota un numero specifico. Il decorso dei valori permette di stabilire l’uguaglianza tra funzioni: due funzioni sono uguali se per ogni numero che sostituisco alla x, denotano entrambe lo stesso individuo quindi sono uguali se hanno lo stesso decorso dei valori. Per esempio: prendiamo le funzioni x2 – 4x e x(x – 4). Voglio vedere se sono uguali. Per verificarlo sostituisco alla x i numeri naturali e vedo qual è il valore delle due funzioni per ogni numero sostituito. Se sostituisco alla x il numero “0” entrambe le funzioni hanno come significato 0; se sostituisco il numero “1” entrambe hanno come significato -3; se sostituisco alla x il numero “2” entrambe le funzioni hanno come significato -4 e così per tutti i numeri. Quindi le due funzioni hanno lo stesso decorso dei valori. Facciamo un altro esempio: voglio vedere se (x+1)2 è uguale a 2(x+1). Sostituisco alla x il numero “0”. Ma qui ho subito un problema: la prima funzione ha come significato 1 e la seconda invece 2. Quindi non hanno lo stesso decorso dei valori.

Passiamo invece ad analizzare una funzione intesa come enunciato (come per esempio “x2=1” oppure “(x+1)2 = 2(x+1)” ecc.). In questo caso, così come per gli enunciati del linguaggio naturale, la funzione ha come significato un valore di verità. Ovviamente anche qui avremo il decorso dei valori che però è l’insieme dei numeri tale che la sostituzione dei loro nome alla x rende l’enunciato vero. Quindi nel caso di “x2=1”, il suo decorso dei valori comprenderà solo il numero 1. Anche in questo caso possiamo stabilire l’uguaglianza tra due funzioni sulla base del decorso dei valori: due funzioni sono uguali se sono vere per gli stessi argomenti e false per gli stessi argomenti.

Una volta detto questo, possiamo vedere che gli enunciati del linguaggio naturale possono essere trascritti utilizzando gli elementi della matematica. Infatti un enunciato della forma “Cesare è il conquistatore della Gallia” è costituito da “Cesare” (un oggetto quindi un termine singolare) e “è il conquistatore della Gallia” (un termine generale). La seconda parte è insatura ossia non è determinata, così come non sono determinate le funzioni della matematica. Per determinarla devo unirla a un oggetto che si riferisce a un individuo specifico. “Cesare è il conquistatore della Gallia” può quindi essere creato a partire da un enunciato della forma “x è il conquistatore della Gallia” e questo a sua volta da un enunciato della forma “x è il conquistatore di y”. In base a i termini singolari che sostituisco a x e y, ottengo enunciati che hanno valori di verità differenti.

Grazie all'eguaglianza stabilità da Frege tra il concetto e la funzione del tipo f(x)=y egli poteva, avvalendosi della teoria degli insiemi delineata da Dedekind e da Cantor, tentare di ridurre tutta l'algebra alla logica. L'idea di Frege e quella di far corrispondere il concetto di numero cardinale non soltanto all'idea di equipotenza fra tutti gli insiemi come aveva enunciato Cantor, ma di far corrispondere al numero cardinale l'insieme di tutti questi insiemi, ovvero la classe di tutti gli insiemi equipotenti fra loro. Riassumendo, avvalendosi dei concetti di classe, come estensione della funzione, del concerto di classe vuota, ovvero l'insieme sotto cui non ricadono oggetti, e del concetto di equipotenza (o equinumerosità) Frege può definire il numero come estensione di un concetto cioè come la classe degli oggetti che cadono sotto quel concetto. Mentre l’intensione corrisponde alla proprietà che delinea gli insiemi, l’estensione coincide con la classe degli oggetti che godono della proprietà espressa dall’intenzione. Affinché si possa tradurre la logica dei predicati con la logica delle classi, che come detto si fonda sulla teoria degli insiemi, è necessario assumere come vero il principio di comprensione, ovvero quello che stabilisce che ogni proprietà individua la classe di tutti e soli gli elemnti che godono di quella proprietà. Da cui segue per esempio che all'insieme degli insiemi vuoti corrisponde il numero zero, all'insieme degli insiemi che hanno un solo elemento corrisponde il numero 1; e così via. In questa ottica gli enti matematici sono entità reali al pari delle idee platoniche ossia enti sovrasensibili e non dedotti o ricavabili dall'esperienza né tantomeno il frutto di un processo mentale in tal modo veniva superata sia la concezione empirista della matematica sia quella kantiana.

 

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