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Il sito è a cura del prof. Bernardo Croci, attualmente insegnante di filosofia presso il Liceo delle Scienze Umane Galilei di Firenze.

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I principi della matematica di Russell si avvalgono degli studi che Russell compì sia sull'opera di Cantor e Dedekind sia su quella di Boole, ma il contributo più grande come da lui stesso scritto nella sua autobiografia gli giunse dallo studio dell'opera di Giuseppe Peano https://andreamacco.files.wordpress.com/2015/09/peano-math.jpg; il matematico italiano, insieme alla sua scuola, aveva proceduto una formalizzazione completa della matematica. La notazione usata da Peano permetteva di trattare con precisione la matematica sottraendola dalla vaghezza filosofica. Infine l'altro grande contributo, che giunse però quando ormai Russell aveva già in mente tutti gli elementi fondamentali della sua opera, è quello di Frege che in modo indipendente aveva tentato di ridurre la matematica alla logica. https://images.gr-assets.com/authors/1235614871p5/95119.jpg  Scrive Russell nella prefazione dell'opera:

Per quanto riguarda la matematica, mi sento in debito come è evidente soprattutto con Georg Cantor e con il professor Peano. Se fossi venuto a contatto prima con l'opera del professor Frege mi sentirei largamente debitore anche verso di lui; ma io sono arrivato per conto mio a molte conclusioni che gli aveva già da tempo raggiunto. (Russell, I principi della matematica)

In quest'opera Russell si prefigge due scopi fondamentali:

Il primo è quello di provare che tutta la matematica pura tratta esclusivamente di concetti riducibili a pochissimi termini fondamentali come i connettivi "o", "non" e i quantificatori "tutti", "alcuni" da cui è possibile dedurre tutte le proposizioni matematiche. https://www.pitest.it/wp-content/uploads/sites/82/2019/11/negazione-di-quantificatori-parziali-2.jpg

Il secondo era la spiegazione dei concetti fondamentali che la matematica assume come indefinibili, ovvero ricercare quelle proposizioni basilari che combinate fra loro danno origine a tutta la matematica a prescindere dal loro contenuto empirico (cioè ridurre al minimo i termini indefinibili anticipando quello che sarà poi l'atomismo logico).

Per quanto riguarda il primo aspetto possiamo affermare che Russell in questa opera sostiene che non vi è alcuna distinzione di natura teorica tra il dominio della logica e quello della matematica, ovvero che i punti di partenza della matematica sono in realtà dimostrabili mediante proposizioni di natura logica, e ciò rappresenta il fondamento del logicismo sostenuto da Russell.

 Sì è detto che tutta l'opera di Russell si avvale del lavoro di Peano.  Peano aveva ridotto le idee primitive su cui costruire tutta la matematica a: 0, numero e successore. https://alchetron.com/cdn/giuseppe-peano-18a330de-3a52-44c7-8ff6-760ac587219-resize-750.jpeg

Nozioni primitive di Peano
0 numero successore

Con il termine "successore" si intende il numero successivo nell'ordine naturale, ad esempio il successore di 0 è 1, e così via (come si vede si tratta di una relazione d'ordine). Con “numero” egli intende la classe dei numeri naturali. https://image.slidesharecdn.com/it2010gobbof-storiainf04-101110045736-phpapp02/95/04-le-origini-del-calcolo-digitale-20-638.jpg?cb=1422553067

a queste idee primitive Peano fa seguire 5 assiomi:

- 0 è un numero

- il successore di ogni numero è un numero

- due numeri non possono avere lo stesso successore

- 0 non è il successore di alcun numero

- ogni proprietà dello 0, come anche del successore di ogni numero che abbia quella proprietà, e di tutti i numeri.

Definiamo uno come successore di 0, 2 come successore di 1, e così via. Ovviamente, con queste definizioni potremmo andare avanti quanto ci pare poiché, in virtù della 2., ogni numero che raggiungiamo avrà un successore, e, in virtù della 3., questo non potrà essere nessuno dei numeri già definiti, perché se così fosse due numeri differenti avrebbero lo stesso successore; e, in virtù della 4., nessuno dei numeri che raggiungiamo nella successione potrà essere lo 0. Dunque la serie dei successori ci fornisce una serie senza fine di numeri sempre nuovi. In virtù della 5. in questa sera e compaiono tutti i numeri; comincia con zero e passa per i successori che lo seguono: per a., lo zero appartiene a questa serie, e, per b., se un numero appartiene alla serie, vi appartiene anche il suo successore, quindi per induzione matematica ogni numero appartiene alla serie. Supponiamo di voler definire la somma di due numeri. Prendendo un numero m, definiamo m+0=m, e m+(n+1) come il successore di m+n. In virtù della 5., questo da una definizione della somma di m+n, qualsiasi sia il numero n. In modo analogo possiamo definire il prodotto di due numeri qualsiasi. Il lettore si convincerà facilmente che tutte le proposizioni ordinarie ed elementari dell'aritmetica possono essere dimostrate con le nostre 5 premesse. (Russell, Introduzione alla filosofia della matematica)

Il passo ulteriore operato da Russell rispetto a Peano è la spiegtazione dei tre concetti basilari utilizzati dal matematico italiano (0, numero e successore) per mezzo delle nozioni di relazione e dii classe attraverso la logica delle relazioni, fondando l'intera matematica sulla logica.

Un esempio può essere fatto a proposito della proposizione "gli angoli interni di un triangolo sommano 180°" https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-45a4b0bdbaee504d1c09f2861398f3ed, tale espressione viene da Russell sottratta, come si è detto a proposito della teoria delle relazioni, dalla logica soggetto predicato e viene tradotta attraverso una "funzione proposizionale" ovvero qualcosa che contiene una variabile e che diventa una proposizione appena si assegna un valore alla variabile (x è un uomo è una "funzione proposizionale" che diventa proposizione quando sostituisco a X la parola Socrate). Tornando all'esempio del triangolo Russell traduce la proposizione nella funzione proposizionale: per tutti i valori di X, se X è un triangolo i suoi angoli sommano 180°. In questo modo egli può parlare delle relazioni a prescindere dall'esistenza del triangolo e delle proprietà che si attribuirebbero alla sua sostanza.

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