Per suggerimenti e osservazioni scrivi a:

info@storiadelleidee.it

Si ricorda a tutti i visitatori che il sito è in costruzione, ci scusiamo per i numerosi refusi causati dalla dattiloscrittura/dettatura vocale, il materiale presente deve ancora essere revisionato. Lo scopo del sito è didattico i materiali pubblicati o visibili tramite link sono di esclusiva proprietà dei rispettivi autori o gestori.

E' possibile trovare le spiegazioni delle lezioni e dei testi presenti sul sito nell'omonimo canale Storia delle idee

http://www.youtube.com/storiadelleidee

Profilo facebook

http://facebook.com/storia.delleidee.52

Il sito è a cura del prof. Bernardo Croci, attualmente insegnante di filosofia presso il Liceo delle Scienze Umane Galilei di Firenze.

Amici e collaboratori stanno contribuendo alla realizzazione.

I problemi con i quali avevamo a che fare erano di due tipi: filosofici e matematici. In linea generale, Whitehead lasciò a me i problemi filosofici. Quanto ai problemi matematici, Whitehead costruì la maggior parte delle notazioni, eccettuate quelle riprese da Peano [...]. lo scopo fondamentale dei Principia Mathematica era di dimostrare che tutta la matematica pura deriva da premesse puramente logiche e usa soltanto concetti definibili in termini logici. Ciò era ovviamente in antitesi con le dottrine di Kant, e inizialmente concepii il nostro lavoro come un momento della confutazione di quel “filisteo sofista” https://assets.ldscdn.org/2e/8b/2e8b2d3af8835341000e10429f9e48bee4fac4a2/old_testament_stories_david.jpeg  come lo definiva Georg Cantor, aggiungendo, per completare meglio la descrizione, il quale conosceva così poco la matematica. Ma col passare del tempo il lavoro si sviluppò in due direzioni diverse...  (Russell, La mia vita in filosofia)

I Principia Mathematica dal punto di vista matematico portarono alla luce una grande quantità di argomenti nuovi che richiesero nuovi algoritmi per poter essere formalizzati e depurati dall'imprecisione del linguaggio ordinario. https://i.ytimg.com/vi/MJhu3BIX0tE/maxresdefault.jpg Dal punto di vista filosofico seguirono due conseguenze la prima che l'apparato logico sul quale poggiava la matematica era più limitato rispetto a quello che Russell aveva immaginato nei Principi della matematica del 1903 così che il testo fu snellito da molte oscure problematiche. La seconda conseguenza era che era chiaro che seguendo le premesse accetate dai logici da Aristotele in poi derivavano delle contraddizioni http://www.andreaminini.org/data/andreamininiorg/esempio-contraddizione-logica-3.gif che evidenziavano la presenza di qualcosa di erroneo senza però far emergere una alternativa in grado di risolvere i problemi riscontrati, ovvero il paradosso rinvenuto da Russell nell'analisi dell'opera di Frege.

Nel 1908 Russell Individua il principale responsabile dei paradossi. Secondo Russell tutte le nostre contraddizioni hanno in comune l'assunzione di una totalità esempio quando io affermo "tutte le proposizioni da me asserite sono false" mi sto riferendo a una totalità alla quale la proposizione stessa appartiene. https://eagle-sera.webnode.it/_files/200001049-e6ee9e6eec/download-2.png

Tutto ciò che implica tutto di una collezione non deve essere un elemento della collezione; o di converso: se ammesso che una collezione abbia un totale, essa contiene membri disponibili solo nei termini di questo tale, allora tale collezione non ha totale. (Russell, Princìapia Mathematica)

Torniamo alla struttura dell'opera prima di vedere la soluzione introdotta da Russell. Nei  Principia Mathematica la riduzione della matematica a logica e ottenuta attraverso cinque proposizioni primitive a cui si sommano tre ulteriori assiomi, usate come regole formali di inferenza cioè regole di derivazione a cui si devono aggiungere due regole informali (del tipo "se o p o p allora p" dove "p" è una variabile alla quale può essere sostituita una qualsiasi proposizione).
L'opera si avvale dell'utilizzo delle costanti logiche così come della logica proposizionale e del calcolo dei predicati, ma ad queste viene aggiunta la teoria dei tipi logici di cui parleremo a breve. Si parte dal calcolo proposizionale con le costanti logiche (negazione, congiunzione, disgiunzione e implicazione), si procede con il calcolo dei predicati per i quali vengono introdotti i quantificatori (tutti, qualcuno).
Seguono nell'opera 3 assiomi come accennavamo prima che sono: l'assioma dell'infinito, l'assioma della riducibilità, l'assioma della scelta.
1) L'assioma della riducibilità ci dice che per ogni proprietà appartenente a un ordine superiore al più basso, c’è una proprietà equiestensiva (cioè posseduta dagli stessi oggetti) di ordine zero. Ossia, ogni classe di oggetti di un certo tipo è equiestensiva a una classe predicativa degli stessi oggetti. Questo assioma è necessario per la teoria ramificata dei tipi, senza di esso intere parti della matematica non potrebbero essere ricondotte alla logica.
2) L'assioma dell'infinito ci dice che "se n è un numero cardinale induttivo qualsiasi, c'è almeno una classe di individui che ha n termini", ove con numeri induttivi intendiamo i numeri naturali. tale assioma è necessario in base alla definizione russeliana di numero (il numero è una classe di classi) così che possano esistere classi con membri sufficienti per generare qualsiasi numero dato.
3) L'assioma di scelta, o un moltiplicativo, stabilisce che dato un insieme di classi mutualmente esclusive, nessuna delle quali sia nulla, esiste almeno una classe formata da un solo elemento tratto da ciascuna classe delle insieme.

Diamo uno sguardo alla teoria dei tipi logici. Riprendendo la teoria sulla denotazione Russell affermava che la teoria aveva come obiettivo quella di fornire le regole per i valori ammissibili di x in una funzione proposizionale data, affermando che le proposizioni del tipo il “coraggio è coraggioso” non hanno senso, così come “l'essere è, e non può non essere” di Parmenide, e l’illegittimità dell'auto referenza delle funzioni proposizionali, cioè che esse non possono essere argomenti di se stessi come nel caso "io mento". http://www.artnet.com/WebServices/images/ll00146lld7xGGFgbeECfDrCWvaHBOcv5v/william-xerra-io-mento.jpg

La teoria di Russell ha come perno quello di distinguere i diversi tipi logici che se mescolati danno origine a tutta una serie di contraddizioni. Con la teoria dei tipi logici venivano abolite le classi, sia la teoria delle descrizioni che quella dei tipi logici in un certo senso soddisfacevano al principio di economia del rasoio di Occam a cui Russell era estremamente legato. In sostanza Russell si era accorto che nella discussione vi erano diversi livelli di linguaggio https://img.archiexpo.it/images_ae/photo-g/58977-1620037.jpg di conseguenza proprietà uguali (identificate dallo stesso segno) non potevano essere scambiate e manipolate come se appartenessero allo stesso livello.

Il ragionamento che sta alla base della teoria, nelle sue varie formulazioni, per esprimersi in modo informale intuitivo, consiste nello sviluppare una rigida gerarchia di tipi diversi di oggetti: individui, insieme di individui, insiemi di insiemi di individui, insieme di insiemi di insiemi... e così via. https://slideplayer.it/slide/17304741/100/images/5/La+teoria+dei+tipi+Le+classi+sono+ordinate+gerarchicamente.jpg

Ciò che fa parte di un certo tipo logico può essere membro o non essere membro solo di qualcosa che faccia parte del tipo o livello gerarchico immediatamente superiore. Facciamo un esempio semplice per capire, posso predicare qualcosa sugli individui di un gruppo (insieme) familiare, per esempio chiedermi chi della famiglia "è padre", ma non posso domandarmi se la famiglia a sua volta "è padre" rispetto a se stessa.

Dunque secondo questo ragionamento la relazione di appartenenza può intercorrere, o non intercorrere, solo fra un oggetto e un insieme; o fra un insieme e un insieme di insiemi; ecc. Come risultato di ciò, un insieme può essere composto solo di oggetti omogenei, ossia tutti appartenenti allo stesso tipo logico ( quello immediatamente inferiore a quello del insieme in questione). Espressioni come X appartiene a X e X non appartiene a X sono dunque rifiutate come non ben formate, sono prive di senso.

Facciamo un altri esempi su espressioni che abbiamo già incontrato. Per esempio è legittimo chiedersi se la parola "uomo" sia corta o lunga, perchè la sto trattando come oggetto, ovvero individuo, ma non ha senso chiedersi se la parola corto o lungo (che corrisponde alla proprietà ovvero all'insieme degli oggetti corti o lunghi) siano corti o lunghi, in quanto in questo caso mentre la parola "uomo" fa parte del linguaggio, la proprietà "corto" o "lungo" intesa come l'insieme di quegli oggetti fa parte del metalinguaggio, ovvero appunto fa parte di un altro livello o tipo logico. https://slideplayer.it/slide/3033668/11/images/10/Russell%3A+la+teoria+dei+tipi.jpg

La teoria dei tipi logici tuttavia  ha un prezzo ovvero quello di ridimensionare il realismo platonico e accettare un certo convenzionalismo.

I cookie rendono più facile per noi fornirti i nostri servizi. Con l'utilizzo dei nostri servizi ci autorizzi a utilizzare i cookie.
Ok