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Il sito è a cura del prof. Bernardo Croci, attualmente insegnante di filosofia presso il Liceo delle Scienze Umane Galilei di Firenze.

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Le fondamenta dei principi della matematica di Russell si ritrovano negli studi che Russell compie sull'opera di Cantor e Dedekind oltre che quella di Boole, ma il contributo più grande lo deve senz'altro a Giuseppe Peano, il geometra italiano insieme alla sua scuola aveva proceduto una formalizzazione completa della matematica. La notazione usata da Peano permetteva di trattare con precisione la matematica sottraendo dalla vaghezza filosofica. Infine l'altro grande contributo, se pur giunto quando ormai Russell aveva già in mente gli elementi fondamentali della sua opera, è quello di Frege che in modo indipendente aveva tentato di ridurre la matematica la logica. Scrive Russell nella prefazione dell'opera:

Per quanto riguarda la matematica, mi sento in debito come è evidente soprattutto con Georg Cantor e con il professor Peano. Se fossi venuto a contatto prima con l'opera del professor Frege mi sentirei largamente debitore anche verso di lui; ma io sono arrivato per conto mio molte conclusioni che gli aveva già da tempo raggiunto. (Russell, I principi della matematica)

In quest'opera Russell si prefigge due scopi fondamentali: Il primo è quello di provare che tutta la matematica pura tratta esclusivamente di concetti riducibili a pochissimi termini fondamentali come i connettivi o, non e quantificatori tutti e alcuni, da cui è possibile dedurre tutte le proposizioni matematiche; Il secondo era la spiegazione dei concetti fondamentali che la matematica assume come indefinibili, ovvero ricercare quelle proposizioni basilari che combinate fra loro danno origine a tutta la matematica a prescindere dal loro contenuto empirico.

Un esempio può essere fatto a proposito della proposizione" gli angoli interni di un triangolo sommano 180°", dall'espressione viene dal Russell sottratta, come si è detto a proposito della teoria delle relazioni, dalla logica soggetto predicato e viene tradotta attraverso una "funzione proposizionale" ovvero qualcosa che contiene una variabile e che diventa una proposizione appena si assegna un valore alla variabile (x è un uomo è una "funzione proposizionale" che diventa proposizione quando sostituisco a X la parola Socrate). Tornando all'esempio del triangolo Russell tradurre la proposizione nella funzione proposizionale: per tutti i valori di X, se X è un triangolo i suoi angoli sommano 180°. In questo modo egli può parlare delle relazioni a prescindere dall'esistenza del triangolo e delle proprietà che si attribuirebbe ero alla sua sostanza.

 Sì ha detto che tutta l'opera di Russell si avvale del lavoro di Peano. Peano aveva ridotto le idee primitive su cui costruire tutta la matematica a: 0, numero, successore.

Con il termine "successore" si intende il numero successivo nell'ordine naturale, ad esempio il successore di 0 è 1, e così via. Con “numero” egli intende la classe dei numeri naturali.

a queste idee primi ti de Peano fa seguire 5 assiomi:

- 0 è un numero

- il successore di ogni numero è un numero

- due numeri non possono avere lo stesso successore

- 0 non è il successore di alcun numero

- ogni proprietà dello 0, come anche del successore di ogni numero che abbia quella proprietà, e di tutti i numeri

Definiamo uno come successore di 0, 2 come successore di 1, e così via. Ovviamente, con queste definizioni potremmo andare avanti quanto ci pare poiché, in virtù della 2., ogni numero che raggiungiamo avrà un successore, e, in virtù della 3., questo non potrà essere nessuno dei numeri già definiti, perché se così fosse due numeri differenti avrebbero lo stesso successore; e, in virtù della 4., nessuno dei numeri che raggiungiamo nella successione potrà essere lo 0. Dunque la serie dei successori ci fornisce una serie senza fine di numeri sempre nuovi. In virtù della 5. in questa sera e compaiono tutti i numeri; comincia con zero e passa per i successori che lo seguono: per a., lo zero appartiene a questa serie, e, per b., se un numero appartiene alla serie, vi appartiene anche il suo successore, quindi per induzione matematica ogni numero appartiene alla serie. Supponiamo di voler definire la somma di due numeri. Prendendo un numero m, definiamo m+0=m, e m+(n+1) come il successore di m+n. In virtù della 5., questo da una definizione della somma di m+n, qualsiasi sia il numero n. In modo analogo possiamo definire il prodotto di due numeri qualsiasi. Il lettore si convincerà facilmente che tutte le proposizioni ordinarie ed elementari dell'aritmetica possono essere dimostrate con le nostre 5 premesse. (Russell, Introduzione alla filosofia della matematica)